現在嘱託職員として働いています。 二歳の子がおり、保育園の迎えで就業時間が終わればすぐに帰らなければいけない状態です。

厳しい状況はお察ししますが、就業にあたり契約書の取り交わしはしていますか？ その場合、残業は一切できない、もしくは残業をさせないなどの文言は含まれていますか？ 子供が何歳であろうと関係ありませんし、違法ではありません。 社会人として、任された仕事を全うするのは基本中の基本です。 もしそれが不可能なのであれば、退職するかパートなどに契約状態を変更してもらうしかないと思われます。 まずは上司と話し合いが必要ですね。 でも質問者様の希望ばかりを一方的に言うのは控えてください。 やる気はあるけれども、出来そうにないということをやわらかく、でも明瞭に説明されることをオススメします。 ですが、もし就業前（面接時など）にあらかじめ子供のお迎えで定時帰社が必須と言っているにもかかわらず、 このような状況なのだとしたら、会社側は何らかの理由で質問者様を辞めさせたがっているのかもしれませんよ。