失業保険給付について 世間知らずなので教えてください。 今年4月末で5年勤めた会社(運送会社)を辞めました。(社員で働いていました) 辞めた理由は従業員100人くらいの株式会社なのに社会

保険未加入で私は国民保険で生活していました。 3月に自宅で10針縫う怪我をして働けなくなり傷病手当ての手続きをしようとしたら社会保険でないから無理との事でしたが、会社はお見舞い金(口止め料と私は思います)として数万円包んで来ました。 私も知らなかったとは言え社会保険未加入の会社で働く意欲がなくなり4月末で辞めました。 5月10日から新しい会社(運送会社)へ就職しました。 研修期間2ヶ月(能力により短縮あり)で契約社員として契約書にサインしました。 入社後1週間で一人立ちしましたが契約給料(1日12時間勤務計算で12000円)で社員よりキツい仕事を1ヶ月間通しでしました。 体がだるいからシフトを変えてと頼みましたが聞いてもらえず入社から2ヶ月過ぎました。 これで社員になれると思っていましたら契約社員の契約更新と言われ、社員よりキツい仕事しているのに社員になれないの？と聞いたら、とりあえず1週間の契約社員でその後は正社員と言われ納得できずに辞めました。 辞めてから2週間が過ぎ、昨日ハローワークで失業保険の手続きの仕方を聞きに行き事の説明をしました。 すぐに2社から離職票をもらい再度来てくださいと言われ離職票をもらう手続きをしました。 まだ離職票を持ってハローワークに行ってないのですが、次の新しい会社の就職が決まり8月1日から入社となっています。 新しい会社は月末締めの翌月25日が給料日です。 悩んでいるのは、恥ずかしい話ですが蓄えもなく家族もいます。このまま新しい会社に就職しても8月末の収入がなく家賃や市県民税など払えなくなります。 就職を遅らせて失業保険の手続きをして失業保険給付金を頂いて生活した方が良いのか迷ってます。 ハローワークの人は特別何とかと言って失業保険が支給されるのでは？と言ってました。 失業保険の給付は自己都合の場合、3ヶ月待たなくてはならないのでは？と思いますが、8月末の支払いの事を考えると頭が痛いです。 借金も考えましたが就職して1ヶ月では借りれるかどうかも分かりません。 長文になりましたが、詳しい方の知恵をお借りしたいです。 宜しくお願いします。