旧内務省系官庁(総務省、警察庁、国土交通省、厚生労働省)は今でもほかの省庁よりも何らかの特権を有しているのでしょうか？

歴史的にも明確に「特権」というものがあったかどうかは疑問もあります。とにかく戦前の内務省というのは大変な有力官庁でしたが、戦後は解体されました。事務の総理秘書官については、外務・大蔵（財務）・警察が出していたのですが、これは外交・財政金融・警察といった情報をいち早く総理に入れたりする意味があります。しかしその後通産・防衛・総務などが加えられて、現在に至っています。要するにその時々の有力官庁が加えられていくわけで、相対的に旧内務省の特権というわけではありません。 事務の官房副長官については、たしかに旧内務省系のうち、警察・自治・厚生から就任するのが慣例といわれてきましたが、旧内務省系のうち労働・建設などは対象外とされていましたから、とくに旧内務系の特権というわけではありません。 また、これらもそもそも大蔵・通産といった経済系の有力官庁とのバランスをとるためにそうしたわけで、とくに旧内務省系の一部に特権を与えていたわけでもありません。また、最近は大蔵省出身者や建設省出身者（これは内務省・国土交通系ではありますが）を官房副長官に据える例も出てきていますから、あまり慣例も重視されなくなっています。