取引先企業の対応について 私が働いている会社の取引先企業ですが、 その取引先企業は24時間365日電話対応している職種です。

現在、夜間（主に21:00～6:00）は私の会社のような 下請け企業が社員を出して、取引先の会社内で電話対応をしています。 ※取引先の社員は誰もおりません。 その夜間の電話対応においては、 電話対応代行費用のようなものはいただいておりません。 そこは、ほかの下請け企業も 仕事をもらっているからということで、 泣く泣く夜間の電話対応をしております。 今後、その電話対応が事務作業の部分で複雑化するのですが、 多くの個人情報を取り扱うことになります。 そこで、作業説明を取引先から受けたのですが、 もし取扱い中にミスをしたら、 ミスした企業に弁償してもらうと言われました。 上司に相談もしたのですが、 その取引先からの売上が、 うちの会社の売上の6割以上を占めているので、 それでもミスが無いようにやるしかないと 泣き寝入り状態です。 そこで質問なのですが、 上記のような内容を労働基準監督署に 匿名（取引の関係上会社の名前は出せません）で話をしたら、 労基署は動いてくれるのでしょうか？ それか、会社の名前を出して話しをしても 労基署は黙秘して動いてくれるのでしょうか？ 知恵を貸していただきたく願います。