他の方も言う通り高校新卒なら3月下旬〜4月1日までですが、5月に居るっていうのは単純にGWで帰省中か土日の休みに地元に帰ってきてるだけではないですか?
さすがに5月までずれ込むなんて聞いたことないですし、3月入隊でなければ年度が変わるのでもう一度試験を受けないといけなくなります。
なので2021年に受けてれば2022年の3月着隊になりますが、それが9月になる事は無いです。
季節入隊はその年度(上記の場合2022年の4月以降に受験)に試験を受けて合格してる人なので季節入隊はありません。
5月ならGWの帰省だったんだと思います。