あるクラスで銀行口座を開設している人数を調査した結果、A銀行に口座を持っている人は13人、B銀行に口座を持っている人は1…

Question

あるクラスで銀行口座を開設している人数を調査した結果、A銀行に口座を持っている人は13人、B銀行に口座を持っている人は15人、c銀行に口座を持っている人は17人であった。また、A銀行、B銀行 の両方に口座を持っている人は8人、A銀行、C銀行の両方に口座を持っている人は7人、B銀行、C銀行の両方に口座を持っている人は4人であった。このとき、そのクラスの人数として考えられる最小人数は何人か。

画像は解答です。A∪B∪Cが最小になるためには、「A∩B∩C が最小」(緑の部分x=0)となるのはなぜか分かりません。三つの重なりが重なる場合なので、A∩B∩C が最大のときだと考えたのですが、、

Answer 1

確かに、感覚的には「お互いに寄る（＝A∩B∩Cが最大）方が全体は小ぢんまりする（＝ A∪B∪Cが最小）」ように思えます。
しかし、この条件下では、３つある２集合の交わり部分の要素数が決まっているので、３集合がお互いに寄ると、各集合円の形状が変わってしまいます。
すなわち、１口座だけ持っている人が増え、「小ぢんまり」しなくなってしまうのです。

結局、感覚的には捉えづらく、解説のように代数的に考えるしかないところなのでしょう。

Answer 2

n(A∪B∪C)=n(A)+n(B)+n(C)-n(A∩B)-n(B∩C)-n(C∩A)+n(A∩B∩C)

そのうち
n(A)=13
n(B)=15
n(C)=17
n(A∩B)=8
n(B∩C)=4
n(C∩A)=7
と指定されているわけだから
最後の+（つまり増える）の
n(A∩B∩C)が最小になれば
n(A∪B∪C)は最小です