基本情報技術者試験の問題について解説してほしいです。 「1015÷5=131(余り0)という式は、何進法で成立する…

Question

基本情報技術者試験の問題について解説してほしいです。

「1015÷5=131(余り0)という式は、何進法で成立するか。」という問題で、画像が解説なのですが読んでもいまいち分かりませんでした。わかりやすく解説していただける方いらっしゃいましたらお願いします。このような問題に対する簡単な解き方、考え方もあったら教えて欲しいです。

よろしくお願いします。

Answer 1

順当な解き方は、az1さんや、エヌさんの２つ目のものだと思います。

まず、n進数がどのような数か理解しておく必要があります。

n進数というのは、n個かたまりが出来ると、桁上がりする数です。

例えば、
10進数は、10まとまると一桁上がります。つまり、0〜9までが一つの桁で、9の次は、桁上りした1になります。
もう少し言い換えると、一桁毎に10倍になります。2桁違えば10^2=100倍、3桁違えば10^3=1000倍です。
更に言い換えます。
一桁目は、1が何個あるかを示す数、
二桁目は、前の桁の10倍である、10が何個あるかを示す数、
三桁目は、前の桁の10倍である、10^2=100が何個あるかを示す数です。
10進数の635なら、100が6個、10が3個、1が5個です。
これを式で表すと、
6×10^2+3×10+5×1
となります。

周りくどいと思うかもしれませんが、まあそうだろうと思うでしょう。

続けます。

2進数は、2まとまると一桁上がります。つまり、0〜1までが一つの桁で、1の次は、桁上りした1になります。
もう少し言い換えると、一桁毎に2倍になります。2桁違えば2^2=4倍、3桁違えば2^3=8倍です。
更に言い換えます。
一桁目は、1が何個あるかを示す数、
二桁目は、前の桁の2倍である、2が何個あるかを示す数、
三桁目は、前の桁の2倍である、2^2=4が何個あるかを示す数です。

四桁目は、前の桁の2倍である、2^3=8が何個あるかを示す数です。

2進数の1011なら、8が1個、4が0個、2が1個、1が1個です。
これを式で表すと、
1×2^3+0×2^2+1×2+1×1
= 2^3+2+1
となります。

これも二進数ってそんな数の気がしますね。

もう少し頑張ってください。
n進数ではどうなるか考えてみてください。

n進数は、nまとまると一桁上がります。つまり、0〜n-1までが一つの桁で、n-1の次は、桁上りした1になります。
もう少し言い換えると、一桁毎にn倍になります。2桁違えばn^2倍、3桁違えばn^3倍です。
更に言い換えます。
一桁目は、1が何個あるかを示す数、
二桁目は、前の桁のn倍である、nが何個あるかを示す数、
三桁目は、前の桁のn倍である、n^2が何個あるかを示す数です。
四桁目は、前の桁のn倍である、n^3が何個あるかを示す数です。
n進数の1015なら、n^3が1個、n^2が0個、nが1個、1が5個です。
これを式で表すと、
1×n^3+0×n^2+1×n+5×1
=n^3+n+5・・・①
となります。

同様に131を上記と同じ形で表すと、
n^2+3n+1・・・②

となります。
今、与式は、①÷5=②ですね。

つまり、
(n^3+n+5)÷5= n^2+3n+1
⇔
n^3+n+5 = 5n^2+15n+5
⇔
n^3-5n^2-14n=0
⇔
n (n^2-5n-14)=0
⇔
n (n+2)(n-7)=0

したがって、
n=0,-2,7となり、0,-2進数というのは無いので、
n=7であり、7進数と分かります。

この問題のポイントは、n進数というのがそもそも何なのかということをきちんと理解していることです。
その後の式の変換は、ほぼ中学数学相当なので、もし分からなければそれを見返してみましょう。

Answer 2

p進法(p>5)だとする。131×5=1015
131はp^2+3p+1だから131×5=5p^2+15p+5
1015はp^3+p+5、これが5p^2+15p+5と等しいから
p^3-5p^2-14p=0,p^2-5p-14=0,(p-7)(p+2)=0,p=7、∴7進法

Answer 3

1015=5×131で考えるのは当然として，右1桁目は5×1=5そのままなので何のヒントにもならない。そこで右1桁切り落として101=5×13で考える。
101=5×13の右1桁目を考える。十進法だと5×3=15なのだけど，左辺の右1桁目が1になっている，ということはここで繰り上がりが生じている。繰り上がって右1桁目に1が残ったということは残り14が繰り上がったということ。つまりn進法のnは14の約数。でも5という数が現れているのだからnは6以上。そんなわけで7進法か14進法に限られる。
7進法だとしたら十進法の15は21になる。14進法だとしたら十進法の15は11になる。右から2桁目も5×1を計算して右から2桁目に足すと，7進法だったら101になるし，14進法だったら61になるので，正しいのは7進法。

Answer 4

この問題は、1015を5で割ったときに余りが0となるような進法を求めるものですね。まず、1015を5で割ってみましょう。

1015 ÷ 5 = 203 (余り 0)

ここで、余りが0になるのは、1015が5の倍数である場合です。このときの進法を考えるために、1015を5進数で表してみましょう。

1015の5進数表記では、何をかけて何を足せば1015になるかを考えます。

まずは、最も大きな位から見ていきます。

5^3 = 125
125 * 0 = 0

5^2 = 25
25 * 4 = 100

5^1 = 5
5 * 0 = 0

5^0 = 1
1 * 0 = 0

これらを足し合わせると、0 * 125 + 4 * 25 + 0 * 5 + 0 * 1 = 100 となります。

つまり、1015は5進数で100と表すことができます。

したがって、1015÷5=131(余り0)という式が成立するのは、5進法であることがわかります。

簡単な解き方としては、1015が5の倍数であるかどうかを確認することがポイントです。1015が5の倍数であれば、5進法であることがわかります。