今年の国家公務員総合職法律科目にて出された問題です。分野はミクロ経済学の生産関数に関する問題です。

Question

今年の国家公務員総合職法律科目にて出された問題です。分野はミクロ経済学の生産関数に関する問題です。Y=K^1/3 × L^1/3（Y：産出量、K：資本量、L：労働量）
資本と労働の単価はそれぞれ２と５４である。この企業が１２の産出量を達成しようとする場合の費用を最小化したい。
このとき、最適資本量はいくらか。

というものが出たのですが解法がテキストなどを見てもよくわかりません。
テキストの問題ではK^1/2 × L^1/2のように乗数の部分を足すと１になるタイプがよく出るのですが
今回の場合では足すと2/3となりテキスト通りの方法ではややこしいことになりました。
わかる方いらっしゃいましたらご教示いただけると幸いです。
乗数の部分が苦手なので特にこの部分をわかりやすく解法を示してくださると助かります。

補足

ご回答ありがとうございます。
解答書き忘れてましたがK=216で合ってます。

テキストでは技術的限界代替率MRTS=r/w と Y=K^x*L^y, MRTS=y/x*K/Lの公式を連立させることによりK=Lなどを出したのち、
元のY=K^x*L^yの方に出た式を代入して答えが出るというような形でした（テキストではこの時乗数が１となって消えるパターンが多いです）。説明下手ですみませんが、この問題に関してはこの解法はやっぱり使えないのでしょうか？

Answer 1

使えますよ。

まずMRTS=w/rより
MRTS=54÷２=27 …①

MRTS=y/x*K/Lより
MRTS=1/3÷1/3*K/L=K/L …②

①=②より
K/L=27
L=K/27 …③

③の式とY=12を生産関数(Y=K^1/3 *L^1/3)に代入
12=K^1/3*(K/27)^1/3
K^1/3*K^1/3=36 (1/27^1/3=1/3より)
K＾2/3=36
両辺を3/2乗する
K=36＾3/2
=√36＾３
=6＾３
=216

Answer 2

まず費用関数を定義します。
総費用をＣとすると
Ｃ＝2Ｋ+54Ｌ
このＣが最小になるようなＫを求める

Ｌ＝1/54Ｃ-2/54Ｋ

これを12＝Ｋ*1/3＊Ｌ*1/3に代入すると（Ｙは条件より12）

12＝Ｋ*1/3＊（1/54Ｃ-2/54Ｋ）*1/3
両辺を3乗して
12*3＝Ｋ＊（1/54Ｃ-2/54Ｋ）
Ｋ＊1/54Ｃ-2/54Ｋ*2＝12*3
Ｋ＊Ｃ-2Ｋ*2＝12*3＊54
Ｃ＝2Ｋ+1/Ｋ＊12*3＊54

Ｃが極大または極小となる条件は
これをＫについて微分した一次導関数が0となるときより

ｄＣ/ｄＫ＝2-1/Ｋ*2＊12*3＊54
2Ｋ*2＝12*3＊54
Ｋ*2＝12*3＊27
Ｋ*2＝4*3＊3*6
Ｋ＝8＊27
Ｋ＝216

補足に関して
私もラグランジュ乗数法を主に使っていたのでちょっとわかりかねます。
すみません。