総務部の人が社内の放送で従業員に連絡をする際に「御連絡します」と言い

Question

ます。

「連絡を致します」が正しいよな？

Answer 1

いや、ご連絡しますが正しいだろ。

Answer 2

自分の動作をへりくだった気持ちで言うことで、相手(話題の人)に敬意を示す謙譲語表現は、
「ご連絡する」………………「ご連絡します」
「ご連絡いたす」……………「ご連絡いたします」
「ご連絡申し上げる」………「ご連絡申し上げます」
です。順に敬意の高さの度合が高くなります。

ご質問の文例の
*「御連絡します」は、謙譲語の正用であり、文法上の間違いもありません。
*「連絡を致します」は「ご」が抜けていますが、間違いとは言えません。ただし、「ご連絡いたします」よりも敬意の度合は低くなります。

尊敬の意の接頭語「お・ご(御)」は、
相手に所属している物・事・動作を通して敬う
＝尊敬の「お(ご）」（「あなたの」の意）
相手に帰属していく物・事・動作を通して敬う
＝謙譲の「お(ご）」（「あなたへの」「あなたのための」の意）
の二面性があります。
上記の「ご連絡」の「ご」は、後者の使い方で「あなたへの連絡」という意です。

「“お”手紙ありがとうございます」・・・・あなたの手紙
「“お”手紙をさしあげます」・・・・・・・あなたへの手紙
「“ご”挨拶申し上げます」・・・・・・・・あなたへの挨拶
＜帰属：物や人が、どこに、あるいはだれに属するか、ということ。[精選版 日本国語大辞典]＞

【ご参考】
謙譲語の形式は、
話し手自身（および自分の側）のことをへりくだった気持ちで言うことで、相手(話題の人)に敬意を示す表現。
①動作を表す言葉を「お(ご)～する、お(ご)～いたす、お(ご)～申す(申し上げる)、お(ご)～願う、お(ご)～いただく」で挟んで作る。
*相手と関わりなく、自分側だけで行為が完結する動詞の場合(検討／協議／都合／予定／納得、など)は「～いたす」<「ご」 はつけない>を用いる。
*濁音で始まる漢語の上には一般に「ご」をつけず「～いたす」にする（前進、図示、護衛、読破、など）
②特別な動詞の謙譲語を使う
……「拝見する・伺う・申し上げる」、「参る・申す・いたす・おる」、「もらう」の謙譲語の「いただく」など
③名詞に「拙、卑、愚、小、粗」などをつける。
↑上記①の「～」には、
漢語の場合は、「スル」をつけて動詞になる熟語（サ変動詞の語幹）が入ります。「ご～する」「ご～いたす」…「ご」がつく。
和語の場合は、動詞の連用形(「○○マス」の形）が入ります。「お～する」「お～いたす」…「お」がつく。