雇用保険証というものは有りません。雇用保険被保険者証ならありますが、それは退職する会社に渡すものではなく、おっしゃる通り次の会社に渡すものです。もしかして、健康保険証と聞き間違えたか、言い間違えと思われます。
雇用保険証というものはないです。 雇用保険被保険者証であれば、それはもともと本人が保管するものなので、現職の会社に渡す義務も義理もないです。 https://www.mhlw.go.jp/file/06-Seisakujouhou-11600000-Shokugyouanteikyoku/jigyounushi02_3.pdf 手元にない場合は、ハローワークに行けば再交付してくれます。
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