公的機関発行証明書とは、被保険者 資格喪失証明書も含まれますか？

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身分証明書のことでしょうけど、『被保険者 資格喪失証明書』は何かの保険の被保険者資格を失ったことを証明するものであって、その人の身分を証明するという種類の証明書ではありません。

身分証明書となるものは住所などに変更があれば変更手続きが原則として必要になる運転免許証やパスポート、マイナンバーカード（通知カードではなく）、健康保険証、国民年金手帳、生活保護受給者証、写真付きの学生証、写真付きの民間企業などが発行するIDカードなどです。
写真付きの学生証や同じく写真付きの民間企業などが発行するIDカードなどは同時に健康保険証などとともに１種類ずつ、健康保険証や国民年金手帳などの写真がないものは２種類以上必要となる場合があります。